行列式
定义¶
行列式有公式
\[
\operatorname{det}(A)=\sum_{\sigma \in S_{n}} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^{n} a_{i, \sigma(i)}
\]
其中 \(S_n\) 是指长度为 \(n\) 的全排列的集合，\(\sigma\) 就是一个全排列，如果 \(\sigma\) 的逆序对对数为偶数，则 \(\operatorname{sgn}(\sigma)=1\)，否则 \(\operatorname{sgn}(\sigma)=−1\)。
几何意义¶
\(N \times N\) 方阵行列式可以理解为所有列向量张成的几何体的有向体积（面积），由此有：
- 矩阵转置，行列式不变；
- 矩阵行（列）交换，行列式取反；
- 矩阵行（列）相加或相减，行列式不变；
- 矩阵行（列）所有元素同时乘以数 \(k\)，行列式等比例变大。
看3b1b！！！